名师讲座 | 再现“矩形大法”运用之美

2019-09-30 数学三剑客 | 三剑客旗舰店

名师讲座 | 再现“矩形大法”运用之美

讲座主持:纪朋成;讲座嘉宾:于新华;讲座主讲:黄萍

摘要:在平时的各类试题中经常会出现两角和差关系类考题,鉴于确定性思想,用因果关系分析法,在初中知识的框架之下,如何巧借模型之力,再现模型之美,让学生在生成中感悟数学思想方法,在较短的时间内成功解决此类难题,由此引发了“矩形大法”一说。


一、矩形大法”的提出背景

我们如何刻画一个角大小呢?角的大小有两种刻画方法:一种是传统的、人人皆知的度数刻画法;另一种是常被我们忽略的边长刻画法(即三角函数值).如果两个角的大小是用度数体现的,那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。但如果两个角的大小是采用边长(即三角函数值)刻画的,那么两个角的和或差的大小是多少呢?自然,这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。虽然,学习数学的人第一反应是马上想到高中的两角和与差的三角公式,但现在讨论的背景是初中数学教学,因此我们要回避用高中数学知识。


不知大家第一次看到这道题的第一反应是什么?能否在短时间中用传统方法解决?看到两角和差关系这样的条件想到什么?本题它有比较巧妙的求法,但要发现,还是需要一定的时间的。这里涉及到两角和差关系,需要说明的是,命题人员绝非希望你采用高中“两角和与差的三角公式”去解决问题,这是由于:

⑴他们当初没有意识到采用这样的思考方法是合理的,而且只要方法得当,的确能够解决问题。

⑵即使意识到了,他们认为因为初中不具备这样的知识,有这样的想法却因为不具备这样的能力,从而无法解决原问题。

⑶最关键的原因是,由于命题人员想出了构思极为巧妙的解法。


于是,这样的考题在不知不觉中出现了,而且通常情况下,这样的考题必定处于试卷中的难题位置。那如果我们能有比较好的方法去破解这个和差关系,那就可以不花多少时间直接攻破此题了呢!



此题学生也许在短时间里容易找到点P的位置却不易求出点P坐标。那么这题究竟如何成功破解呢?


类似这样的问题不管小题,大题,其实在中考中是比较多的。现在的问题是,有些题目构思非常巧妙,但采用“因果确定法”思考,面临的困难就是:已知两个角的大小(边长刻画),最后只有在解决了这两个角的和或差的问题后,才能真正解决原问题。那么有没有既遵从原始的“因果确定法”的思考方法,又付出代价不大,同时还易于操作的解法呢?也即如何做到“想有背景,解不超纲”呢?


这就让人开始思考从比值刻画一个角的大小,就得出现一个包含这个锐角的直角三角形。那么两个角呢?就必须出现两个直角三角形,最后还要有两个角的和或差的大小的比值刻画,即出现了第三个角,又必须出现一个含有这个和角或差角的直角三角形,这样就需要三个直角三角形。那么怎样才能沟通彼此联系呢?在平时的基本构图模型中有吗?于是想到了“一线三直角”这样的基本图形。在这些想法的基础上,朦朦胧胧地继续探求构造,最后终于产生了那个精妙绝伦的矩形——一下子全部满足了要求!


为了在网络上交流,既有一定的趣味性,又揭示方法的本质,将其取名为“矩形大法”。教师在课堂上有时为了表述的方便或激发学生的学习兴趣和积极性,也可以一起命些名称,不必太过计较说法。


二、 “矩形大法”的基本构造


下面我们以75°,15°这两个特殊角为例聊聊矩形的构造。


我们可以通过30°与15°的倍半角关系求出tan15°的值,通过互余关系求出tan75°的值。那如果利用30°,45°这两角的和差关系又该怎样构图表示出75°与15°的正切值呢?


1.75°即45°与30°和的构造

我们知道两角和与差,在图形中通常体现出三条线,为构图方便,第一条线通常选择水平或铅垂(一号线),二号线为两角的公共边,第二个角的另一边为三号线.(如图1-1,图1-2)



根据上面的阐述,究竟该如何用比值来刻画45°,30°,以及75°这三个角呢?


首先得先把45°角(∠1)和30°角(∠2)都要构在一个直角三角形中(如图1-3),其次构一线三直角(如图1-4),为了有75°想到平行有角相等,所以构矩形(如图1-5)。





2.15°即45°与30°差的构造


两角和是在一个角的基础上向外“扩张”,现在是两角差,该如何构造呢?
(1)作一个45°角(如图2-1)
(2)在二号线上取点A 向角的内部作垂线,构造∠AOB= 30°(也即以OA 边为公共边向内构造一个含30°角的直角三角形ABO)(如图2-2)
(3)过点A,B,O 三点构矩形OCDE ,有此得到∠EOB 就为15°角(如图2-3)







解法2:根据等边三角形的特殊性,作AB 边上的高,过垂足构一线三直角框矩形也是比较方便的。


下面体验一下“矩形大法”在中考试题中的神奇魅力。


5.先来看一道2013 淄博中考题的第三问


6.再来个中考小题


7.现在我们再回过头来看南通的这道中考题:

现在看到 “∠DAO+∠DPO=∠α,”这个条件,有想法了吗?



试想我们找到了P 点,由图9-2 可知,这里点D(1,4),点A(-1,0)都是确定的,所以tan∠DAO=2 显然是确定的,α 的大小显然也是确定的,那么如果求出∠DPO 的大小,那么这道题目立刻就“土崩瓦解”了。在形外可构如图9-3 的矩形。



利用平行关系可知tan∠GDO=tan∠DOX=tanα=4,在∠GDO 内部过点O 作垂线构造tan∠EDO=tan∠DAO=2 的直角三角形,所以两阴影的三角形的相似比为1:2,则可表示出矩形FDGH 边上各部分线段长,可得P 点坐标为(-17,0)再根据对称性得另一点坐标(19,0)。


除了这种矩形构造,我们还可以构造更具一般性的矩形,如图9-5:



试想我们找到了点P,则tan∠HDA=tan(∠DAO+∠DPO)= tan∠α=4,由此我们可以先构造一个正切值为4 的角,再构矩形(如图9-6)



这里由于题中D点的坐标特征,利用tan∠DOF=4,命题人存在构思巧妙的方法,倘若我们没有发现这一点呢?譬如把“tan∠α=4”改成3,也许原先的巧妙构思就不再可以了,而“矩形大法”在此可再显其神威,无论怎么变,只要两角的值是确定的,都可以“强行破门”,“直接碾压”。其实只要在上图9-6 中改动几个数据即可:


图中tan∠HDA=3,所以两相似三角形的相似比为3:1,依次标出矩形边上各线段的长就OK 了!P(-27,0)或(29,0)


8、再来破解2016 年盐城的中考题:


由图10-2,易得PG=QR,PA=PR,所以PA+PC+PG=PR+PC+QR,所以当Q、R、P、C 四点共线时取得最小值。



在原图中可构图10-5 所示的矩形:

诸如此类的中考题其实比较多,如2016 年广西贵港,2016 年江苏徐州等压轴题,都可以用“矩形大法”处理。教师如能恰当地处理好模型教学,引导学生用“因果确定法”思考问题,那么学生就能较好地掌握一类问题了。而这种学习经验的获得还可以迁移到其他模型的归纳总结中,学生在潜移默化中学着把问题归类。


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